次小生成树

首先求出最小生成树，我们枚举每条不在最小生成树上的边，并把这条边放到最小生成树上面，然后就一定会形成环，那么我们在这条环路中取出一条最长的路(除了新加入的那一条边),最终我们得到的权值就是次小生成树的权值。

prim实现

我们在求解次小生成树的时候我们要使用一个二维数组$maxd[i][j]$表示最小生成树中$i$点到$j$点的最远距离，我们使用动态规划的思想来计算这个数组，比如当前节点为$x$,他的父亲节点为$per[x]$,以及根节点$root$,那么

$$maxd[root][x] = max(maxd[root][per[x]] , maxd[per[x]][x])$$

我们就会得到最终的结果数组
我们还需要数组：$connect[i][j]$表示最小生成树中这条边有没有被用到，剩下的就是我们要去模拟算法解释里所说的删边以及添边的操作了

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#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#define INF 0x3f3f3f3f
 
using namespace std;
const int MAXN = 110;
int n,m,mapp[MAXN][MAXN];
bool vis[MAXN],connect[MAXN][MAXN];
int dis[MAXN],maxd[MAXN][MAXN],per[MAXN];
void Init()
{
    memset(mapp,INF,sizeof(mapp));
    memset(connect,false,sizeof(connect));
}
int prim()
{
    memset(maxd,0,sizeof(maxd));
    memset(vis,false,sizeof(vis));
    for(int i = 1;i <= n;i ++)
    {
        dis[i] = mapp[1][i];per[i] = 1;//首先父亲节点都是根节点
    }
    vis[1] = 1;
    dis[1] = 0;
    int res = 0;
    for(int i = 1;i < n;i ++)
    {
        int index = -1,temp  = INF;
        for(int j = 1;j <= n;j ++)
            if(!vis[j] && dis[j] < temp)
            {
                index = j;temp = dis[j];
            }
        if(index == -1) return res;
        vis[index] = 1;

	//这条边已经在最小生成树中，后面我们就不能添加这条边了
        connect[index][per[index]] = false;connect[per[index]][index] = false;
        res += temp;

	//更新点之间的最大值
        maxd[per[index]][index] =maxd[index][per[index]] =  temp;
        for(int j = 1;j <= n;j ++)
        {
            if(j != index && vis[j])//只是更新我们已经遍历过来的节点
            {
                maxd[index][j]=max(maxd[j][per[index]],dis[index]);
		maxd[j][index]=maxd[index][j];
            }
            if(!vis[j] && mapp[index][j] < dis[j])
            {
                dis[j] = mapp[index][j];
                per[j] = index;
            }
        }
    }
    return res;
}
int main()
{
    int T;
    scanf("%d\n",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d%d",&n,&m);
        Init();
        int u,v,w;
        for(int i = 0;i < m;i ++)
        {
            scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
            mapp[u][v] = w;mapp[v][u]  = w;
            connect[u][v] = true;connect[v][u] = true;
        }
        int ans = prim();
        bool over = false;
        //如果有某条边没有被最小生成树使用，
	//并且i~j的最大值大于图中得到最大值，那么就表示次小生成树存在
        //相反就不会存在
         for(int i = 1;!over && i <= n;i ++)
            for(int j = 1;j <= n;j ++)
            {
                if(connect[i][j] == false || mapp[i][j] == INF)
                    continue;
                if(mapp[i][j] == maxd[i][j])//当边长度相同是就是表示最小生成树相同
                {
                    over = 1;
                    break;
                }
            }
        if(over)
            printf("Not Unique!\n");
        else
            printf("%d\n",ans);
    }
     //如果我们需要求解次小生成树的权值时，
     //我们就要把在最小生成树中没有用过的边，
     //加上然后减去对应环中最大的路径
     return 0;
}

Kruskal实现

kruskla算法中我们枚举的边权值会依次增大，那么就会给我们计算提供一定的便利，但是因为kruskal的实现方式和prim有所不同，所以kruskal需要存储当前最小生成树中的节点，然后我们再去更新$maxd$数组

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#include <vector>
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define INF 0x3f3f3f3f
 
using namespace std;
int n,m;
struct data
{
    int u,v,w;
    bool vis;
} p[20010];
vector<int>G[110];
int per[110],maxd[110][110];
bool cmp(data a,data b)
{
    return a.w < b.w;
}
int Union_Find(int x)
{
    return x == per[x] ? x: per[x] = Union_Find(per[x]);
}
void kruskal()
{
    sort(p,p+m,cmp);
    for(int i=0; i<=n; i++)//初始化
    {
        G[i].clear();
        G[i].push_back(i);
        per[i]=i;
    }
    int sum=0,k=0;//sum是最小生成树的值
    for(int i=0; i<m; i++)
    {
        if(k==n-1)  break;
        int x1=Union_Find(p[i].u),x2=Union_Find(p[i].v);
        if(x1!=x2)
        {
            k++;
            p[i].vis=1;//这条边已经用过了
            sum+=p[i].w;
            int len_x1=G[x1].size();
            int len_x2=G[x2].size();
            for(int j=0; j<len_x1; j++)//更新两点之间距离的最大值
                for(int k=0; k<len_x2; k++)
		    //因为后面的边会越来越大，所以这里可以直接等于当前边的长度
                    maxd[G[x1][j]][G[x2][k]]=maxd[G[x2][k]][G[x1][j]]=p[i].w;
            per[x1]=x2;
            //因为per[x1] = x2,在Union_Find函数中要寻找和x1相关联节点的跟节点的时候，
	    //都会找到x2，所以这里不用再去更新和x1节点相连的节点
            for(int j=0; j<len_x1; j++)
                G[x2].push_back(G[x1][j]);

        }
    }
    int cisum=INF;//次小生成树的权值
    for(int i=0; i<m; i++)
        if(!p[i].vis)
            cisum=min(cisum,sum+p[i].w-maxd[p[i].u][p[i].v]);
    if(cisum>sum)
        printf("%d\n",sum);
    else
        printf("Not Unique!\n");
}
int main()
{
    int T;
    scanf("%d\n",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d%d",&n,&m);
        for(int i=0; i<m; i++)
        {
            scanf("%d%d%d",&p[i].u,&p[i].v,&p[i].w);
            p[i].vis = false;
        }
        kruskal();
    }
    return 0;
}